2.6 Criterios de Congruencia

      Segundo Teorema. El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Teorema segundo Sea  B  un punto de la circunferencia de diámetro  AC  y centro "O", distinto de  A  y de  C . Entonces el triángulo  ABC , es un triángulo rectángulo donde <ABC = 90º. Tales de Mileto

Primer Teorema. Teorema primero Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.        -Tales de Mileto        Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o si sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que: Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos.

Teorema de Tales. Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica  que reciben el nombre de  teorema de Tales , ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto  en el siglo VI a. C.       El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si diversas rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas y correspondientes entre transversales, son pr...

   Teorema fundamental de la semejanza de triángulos. Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado. Hipótesis: Dado  {\displaystyle ABC}  y  {\displaystyle r\|AC} {\displaystyle r}  corta  {\displaystyle AB}  o a su prolongación en  {\displaystyle L} {\displaystyle r}  corta  {\displaystyle BC}  o a su prolongación en  {\displaystyle M} Teorema: {\displaystyle (BLM\sim BAC)}

Características de triángulos semejantes. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos.  Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'.  Para denotar que dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes se escribe ABC ~ A'B'C', donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente.  Una similitud tiene la propiedad de multiplicar to...

     Triángulos semejantes      Una semejanza entre dos figuras geométricas viene definida exclusivamente por la condición de que la distancia entre cualquier par de puntos de la primera figura  {\displaystyle A}  y  {\displaystyle B} , y la distancia entre sus dos correspondientes de la segunda figura  {\displaystyle A'}  y  {\displaystyle B'} , tienen un valor constante llamado razón de semejanza: {\displaystyle {\frac {\;{\overline {A'B'}}\;}{\;{\overline {AB}}\;}}=\alpha } Una semejanza se puede expresar como una composición de rotaciones, traslaciones, reflexiones y homotecias.​ Por tanto la semejanza puede modificar el tamaño y la orientación de una figura pero no altera su forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación: {\displaystyle (ABC\sim A'B'C')\Longleftrightarrow {\begin{Bmatrix}{\wideh...

     Propiedad del triángulo isósceles.   Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados son iguales. Inverso de la propiedad del triángulo isósceles.   Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados opuestos a esos ángulos, son iguales.

         Propiedades de los triángulos: Triángulos isósceles. Recuerda que un triángulo isósceles, es un triángulo que tiene al menos dos lados iguales.  El ángulo que está entre los lados iguales se denomina ángulo del vértice.  El lado opuesto al ángulo del vértice se llama la base.  Los dos ángulos formados por la base y uno de los lados iguales se llaman ángulos de la base. 

     Triángulos congruentes: definición. Si ∆ABC ≅ ∆efg entonces, ∠A ≅ ∠E, ∠B ≅ ∠F, ∠C ≅ ∠G, AB ≅ EF, BC ≅ FG y CA ≅ GE  .  La expresión ∆ABC ≅ ∆EFG se lee como "tríángulo ABC es congruente con triángulo EFG" El "si y solamente si" de la definición significa que el inverso de ella también es válida.  Es decir, Si ∠A ≅ ∠E, ∠B ≅ ∠F, ∠C ≅ ∠G, AB ≅ EF, BC ≅ FG y CA ≅ GE, entonces ∆ABC ≅ ∆EFG. Si mediante traslaciones y rotaciones, uno de los triángulos se superpone encima del otro, todos los puntos de uno coincidirán con los puntos respectivos del otro.  Esto significa que, Partes Correspondientes de Triángulos Congruentes son Congruentes o coinciden ( PCTCC ).

           Criterio de congruencia Lado-Lado-Lado (LLL).  Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.       Interpretación: Si AC ≅ DE, AB ≅ DF y BC ≅ FE , automáticamente se cumple que: ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠F y ∠C ≅ ∠E.  Ejemplo Usando solamente la información dada, determina cuáles de los siguientes triángulos son congruentes. ∆BAC ≅ ∆FDE, por AAL o LAA. A B C F D E ∆

    Criterio de congruencia Ángulo-Ángulo -Lado (AAL o LAA). .        Si dos ángulos y un lado no comprendido de un triángulo son congruentes con los ángulos correspondientes y el lado de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. ∆BAC ≅ ∆FDE, por AAL o LAA.

        Criterio de congruencia Ángulo-Lado-Ángulo (ALA ).      Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.           Interpretación: Si ∠A ≅ ∠D , AC ≅ DE y ∠C ≅ ∠E, automáticamente se cumple que: AB ≅ DF ∠B ≅ ∠F y BC ≅ FE.      Aplicando la propiedad del tercer ángulo, y el criterio ALA, se puede establecer que AAL es criterio de congruencia. Medita esta cuestión. A continuación establecemos el criterio de congruencia AAL (o LAA).

      Criterio de congruencia Lado-Ángulo-Lado (LAL).       Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son congruentes a dos lados y al ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.  Interpretación: Si AB ≅ DF, ∠A ≅ ∠D y AC ≅ DE, automáticamente se cumple que: BC ≅ FE, ∠B ≅ ∠F y ∠C ≅ ∠E.

        Estudio de criterios de congruencia de triángulos.      Ahora, utilizaremos las ideas anteriores para estudiar los criterios de congruencia de triángulos. Estos criterios de congruencia, son las condiciones que determinan el trazado de triángulos. ¿Cuál es la importancia de estos criterios? la importancia estriba en que, conocidos ciertos elementos de los triángulos, automáticamente los restantes son iguales. Ésto fue aplicado por Tales de Mileto (600 a.C.) para resolver el siguiente problema:  ¿A qué distancia del puerto se encuentra un barco? Para resolver este problema, tales utilizó el siguiente postulado: «dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales», y la figura mostrada. ¿Qué ángulos del ∆BOE son iguales a los del ∆DPE?  ______________ ¿Por qué?___________  Se trata de calcular la distancia OB. Tales planteó el siguiente procedimiento: Una persona observa el...

      b) Antecedentes para comprender la existencia de elementos mínimos que determinan un triángulo:  • Un segmento queda determinado por dos puntos: Significa que si tenemos dos puntos, sólo es posible dibujar un segmento, en el sentido de que si más de un segmento pasa por esos puntos, todos coincidirán, o si dibujamos en otro lado esos dos puntos, en posiciones idénticas, los segmentos que tracemos sobre ellos serán congruentes todos entre sí y con el original. En contraparte, un punto no determina un segmento; es decir, dado un punto (por ejemplo el punto A), por el pasan infinidad de segmentos. Un triángulo queda determinado por tres puntos no colineales: Significa que si tenemos tres puntos (A, B y C), sólo es posible dibujar un triángulo, en el sentido de que si trazamos más de un triángulo por esos puntos, todos coincidirán, o si dibujamos en otro lugar esos tres puntos, en posiciones idénticas, los triángulos que tracemos sobre ellos serán...

      a) Antecedentes para comprender la terminología implicada en los criterios de congruencia: Dos lados comprenden un ángulo si el vértice de éste es un extremo de ambos lados.      Ej. Los lados b y c comprenden al ángulo A. Dos ángulos comprenden un lado si los extremos del lado son vértices de los dos ángulos.  Ej. Los ángulos A y B comprenden al lado c.

  La congruencia se trata de determinación.  Conocer los tres lados y los tres ángulos ciertamente determina un triángulo. En otras palabras, si dibujas un segundo triángulo con todos los lados y ángulos congruentes con aquellos en el primer triángulo, el segundo triángulo será congruente con el primero. Esencialmente será el mismo triángulo.  Entonces, conocer tres ángulos y tres lados garantiza el tamaño y la forma del triángulo, y todos los triángulos que comparten ese conjunto de medidas tienen garantizada la congruencia entre sí. Pero, ¿se requieren estos seis elementos para garantizar la congruencia? Por ejemplo, ¿es suficiente conocer tres ángulos para determinar un triángulo? ¿Es suficiente conocer dos lados y un ángulo? De la misma manera, ¿cómo se puede decir si dos triángulos son congruentes? ¿Son congruentes si sus tres ángulos tienen la misma medida? o, ¿si dos lados y un ángulo son iguales? En esta lección encontrarás las respuestas a estas pregunta...