2.6 Criterios de Congruencia

Primer Teorema. Teorema primero Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.        -Tales de Mileto        Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o si sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que: Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos.

Teorema de Tales. Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica  que reciben el nombre de  teorema de Tales , ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto  en el siglo VI a. C.       El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si diversas rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas y correspondientes entre transversales, son pr...

   Teorema fundamental de la semejanza de triángulos. Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado. Hipótesis: Dado  {\displaystyle ABC}  y  {\displaystyle r\|AC} {\displaystyle r}  corta  {\displaystyle AB}  o a su prolongación en  {\displaystyle L} {\displaystyle r}  corta  {\displaystyle BC}  o a su prolongación en  {\displaystyle M} Teorema: {\displaystyle (BLM\sim BAC)}

Características de triángulos semejantes. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos.  Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'.  Para denotar que dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes se escribe ABC ~ A'B'C', donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente.  Una similitud tiene la propiedad de multiplicar to...

     Triángulos semejantes      Una semejanza entre dos figuras geométricas viene definida exclusivamente por la condición de que la distancia entre cualquier par de puntos de la primera figura  {\displaystyle A}  y  {\displaystyle B} , y la distancia entre sus dos correspondientes de la segunda figura  {\displaystyle A'}  y  {\displaystyle B'} , tienen un valor constante llamado razón de semejanza: {\displaystyle {\frac {\;{\overline {A'B'}}\;}{\;{\overline {AB}}\;}}=\alpha } Una semejanza se puede expresar como una composición de rotaciones, traslaciones, reflexiones y homotecias.​ Por tanto la semejanza puede modificar el tamaño y la orientación de una figura pero no altera su forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación: {\displaystyle (ABC\sim A'B'C')\Longleftrightarrow {\begin{Bmatrix}{\wideh...

     Propiedad del triángulo isósceles.   Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados son iguales. Inverso de la propiedad del triángulo isósceles.   Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados opuestos a esos ángulos, son iguales.

         Propiedades de los triángulos: Triángulos isósceles. Recuerda que un triángulo isósceles, es un triángulo que tiene al menos dos lados iguales.  El ángulo que está entre los lados iguales se denomina ángulo del vértice.  El lado opuesto al ángulo del vértice se llama la base.  Los dos ángulos formados por la base y uno de los lados iguales se llaman ángulos de la base.