2.6 Criterios de Congruencia

Rectas y puntos notables de triángulos. Mediana de un triángulo es un segmento que conecta un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto de dicho vértice. En el triángulo de la derecha, AM, BK y CL son las medianas del ∆ABC.  Propiedad de las medianas:  El punto donde concurren las medianas se denomina baricentro o centroide. Este punto es el centro de gravedad del triángulo.   Altura de un triángulo: Es un segmento que va desde uno de sus vértices, perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto a dicho vértice.

Propiedad de las mediatrices: En la siguiente figura a la derecha, ℓ1 , ℓ2 y ℓ3 , son las mediatrices de AB, BC y AC respectivamente. El punto donde concurren las mediatrices de los lados de un triángulo se llama circuncentro , y es el centro del círculo circunscrito al triángulo.  En esta figura, el punto C es el circuncentro del triángulo ABC.

Propiedad de las bisectrices: El punto donde concurren las bi- F sectrices de los ángulos de un triángulo se llama incentro , y es el centro del círculo inscrito en el triángulo.  En la figura anterior, el punto I es el incentro del triángulo ABC. Cada punto de la bisectriz equidista de cada lado del ángulo; esto es, IF = IE, IF= ID, IE = ID.

Clasificación de triángulos. Los triángulos se clasifican por sus ángulos en acutángulos, rectángulos y obtusángulos. • Los triángulos acutángulos son los que tienen sus tres ángulos agudos.  • Los triángulos rectángulos son los que tienen un ángulo recto.  • Los triángulos obtusángulos son los que tienen un ángulo obtuso. Con respecto a la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos: •Los triángulos equiláteros son los que tienen sus tres lados iguales entre sí.  • Los triángulos isósceles son los que tienen al menos dos lados iguales entre sí.  • Los triángulos escalenos son los que no tienen lados iguales entre sí.

Clasificación y construcción de triángulos. Clasificación, rectas y puntos notables de triángulos. Por un punto A pasan una infinidad de rectas. Dados dos puntos A y B, determinan una recta y dados tres puntos A, B y C, éstos determinan una o tres rectas: Recordemos que si los tres puntos están sobre una recta los llamamos puntos colineales. Si los tres puntos no son colineales, forman un triángulo con las tres rectas que éstos determinan. Los segmentos de recta determinados por los puntos de intersección se llaman lados del triángulo y los vértices de los ángulos formados por estos segmentos son los vértices del triángulo. Si estos vértices se denominan A, B y C, el triángulo se simboliza como ∆ABC. Los ángulos A, B y C son ángulos interiores. Los ángulos suplementarios a éstos, se llaman ángulos exteriores. Un ángulo exterior es aquel formado por un lado del triángulo y la prolongación de otro lado.

Aplicación del Segundo Teorema de Tales. El “segundo teorema” ( de Tales de Mileto ) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia  k  dada, que además pasen por un punto  P  conocido y externo a la misma ( véase figura ). Se supondrá que una tangente cualquiera  t  ( por ahora desconocida ) toca a la circunferencia  k  en un punto  T  ( también desconocido por ahora ). Se sabe por simetría que cualquier radio  r  de la circunferencia  k  es perpendicular a la tangente del punto  T  que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo  OTP  es necesariamente recto. Lo anterior implica que el triángulo  OTP  es rectángulo. Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el triángulo  OTP  es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa  OP  del mismo. Entonces marc...